福島県立高校入試の数学を算数で解く

2023年10月27日

2024年第4問

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最初のA、Bの水量をそれぞれ $\fbox{4}$ 、 $\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{3}}}$ とすると、Cの水量は、 $\fbox{1}+\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{1}}}$ である。

Cの水量は、 $\fbox{3}-60$ でもあるので、 $\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{1}}}=\fbox{2}-60$ である。

Bの水量は $\raise0.2ex\hbox{\textcircled{\scriptsize{3}}}=\fbox{6}-180$ であるから、AとBの水量の和は $\fbox{10}-180$ である。

よって、 $\fbox{1}=100$ から、Aの水量は400mL、Bの水量は420mL。

2023年第4問

計算

$6\div 4=1.5$

$8\div 5=1.6$

$1.6\times 200=320$

$(320-314)\div(1.6-1.5)=60$

$60\div 4=15$

$(200-60)\div 5=28$

4人のグループは15組、5人のグループは28組。

解説

4人のグループには6枚ずつ配るから、1人1.5枚になる。また、5人のグループには8枚ずつ配ることになるから、1人1.6枚になる。

仮に、全てのグループが5人だとすると、配る枚数は $1.6\times 200=320$ 枚となる。

$(320-314)\div(1.6-1.5)=60$ から、4人のグループには60人いる。つまり、4人のグループは15組である。

また、5人のグループには140人いる。つまり、5人のグループは28組である。

2022年第4問

計算

$232-8\times(5+4)=160$

$10 \times 22=220$

$(220-160)\div(10-4)=10$

$22-10=12$

よって、そうたさんは12回、ゆうなさんは10回勝った。

解説

そうたさんのメダルのうち、勝つか負けるかしてもらったものは、 $232-8\times(5+4)=160$ gである。

仮に、22回ともそうたさんが勝ったとすると、そうたさんがもらえるメダルは $10 \times 22=220$ gである。

$(220-160)\div(10-4)=10$ から、そうたさんは10回負けたことになる。

2021年第4問

例えは、 $351-153=198$ である。百の位と一の位の差が2以上のとき、入れ替える前後の2つの整数の差は100以上になる。

よって、百の位の数は、一の位の数より1大きい。

各位の数の和が18だから、百の位の数の3つ分は、21になる。よって、百の位の数は7、十の位の数は5、一の位の数は6になる。

答は、756。

2021年第6問

問題文を、小学算数の言葉に翻訳する。

$\ell$ 、 $m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれC、Dとする。CD=12cmである。

Pから $x$ 軸へ引いた垂線と $x$ 軸との交点をHとする。CH:PH $=$ DH:PH $=1:2$ である。

(1)

CHとPHの長さを求めることにする。

CH:PH $=$ DH:PHから、CH $=$ CHである。

よって、CH $=$ 6cmである。また、PH $=$ 3cmである。

(2)①

$\triangle$ PRSと $\triangle$ PCDは合同であるから、答えは $12\times 3\div 2=18$ cm $^2$ である。

(2)②

平方根が必要なので、小学算数では答えが出ない。

Pから直線RSに引いた垂線とRSとの交点をIとする。 $(\rm{PH}\times \rm{PH}):(\rm{RS}\times \rm{RS})$ を求めることにします。

$\triangle$ PAB $=2$ cm $^2$ から、 $\triangle$ PRS $=10$ cm $^2$ となる。

また、 $\triangle$ PCDの面積は $18$ cm $^2$ であるから、面積比 $\triangle$ PRS: $\triangle$ PCD $=9:5$ となる。

$(\rm{PH}\times \rm{PH}):(\rm{RS}\times \rm{RS})=9:5$ 。

2021年第7問(3)

平方根・三平方の定理が必要なので、算数で体積を求めることはできません。しかし、四角錐O-ABCと四角錐E-ABCの体積比を求めることは、可能です。

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三角形OAC、三角形ACEは二等辺三角形である。底角が等しいから相似である。OAとACが対応する辺である。

底面の正方形の面積は4であるから、 $\rm{AC}\times \rm{AC}=8$ である。したがって、三角形OACと三角形ACEの面積比は、 $(\rm{OA}\times \rm{OA}):(\rm{AC}\times \rm{AC})=9:8$ となる。

四角錐O-ABCと四角錐E-ABCの体積比は $9:8$ と分かる。

2020年第4問

(1)

50円玉は、 $(80-8-6)\div 3=22$ 枚、10円玉は50枚である。

(2)

計算

$100\times 8+50\times 22+10\times 50 =2400$

$2400 \div 12=200$

$4000 \div 200 =20$

$4000 \div (20-12)=500$

500円

解説

ゆうとさんは、12回目で $100\times 8+50\times 22+10\times 50=2400$ 円貯金した。1回で $2400\div 12 =200$ 円ずつ貯金する。

4000円貯金するには $4000\div 20=20$ 回かかるから、姉は $20-12=8$ 回で4000円を貯める。

よって、姉は、1回につき $4000 \div (20-12)=500$ ずつ貯金する。

2020年第7問

翻訳

問題文を、小学算数の言葉に翻訳する。

「底面が1辺 $4\sqrt2$ cmの正方形」は「底面が面積32cm $^2$ の正方形」と翻訳する。

(3)

まず、四角錐CPFHQの体積を求める。直方体ABCD-EFGHから、余計な部分を削る。

直方体の体積は、 $32 \times 6=192$ cm $^3$ 。

直線FPと直線EAの交点をTとすると、 $\rm{BF}:\rm{AT}=\rm{BP}:\rm{AP}=1:1$ である。よって、直線HQと直線EAの交点もTである。

三角錐T-EFHから三角錐T-APQを除いた部分の体積を求める。この2つの三角錐の相似比は1:2であるから、体積比は1:8である。三角錐T-APQの体積は、 $16 \times 12 \div 3 \times \left(1-\dfrac{1}{8}\right)=56$ cm $^3$ である。

三角錐F-CPBの体積は、 $32\div 4 \times 6 \div 3=16$ cm $^3$ 。三角錐H-CQFの体積も、 $16$ cm $^3$ 。

三角錐C-FGHの体積は、 $32\div 2 \times 6 \div 3=32$ cm $^3$ 。

よって、四角錐C-PFHQの体積は、 $192-56-16\times 2 -32=72$ cm $^3$ 。四角錐S-PFHQの体積は $72\div 2=36$ cm $^3$ 。

2019年第4問

計算

$5640+160=5800$

$(120 +160 \times 3)\div 4=150$

$(60+370\times 2)\div 6=\dfrac{400}{3}$

$800 \times (42\div 6)=5600$

$150-\dfrac{400}{3}=\dfrac{50}{3}$

$(5800-5600)\div \dfrac{50}{3}=12$

$12 \div 3=4$

$(42-12)\div 6=5$

よって、単品ノートは4冊、単品消しゴムは5個売れた。

解説

1冊少ないという条件が面倒なので、セットAがもう1つ売れて、ノートは全部で42冊売れたとする。売り上げの合計は5800円となる。

販売個数について、単品ノート:セットA=1:3であるから、単品のノートを1冊とセットAを3つを組み合わせて、セットX(ノート4冊・消しゴム3つ・600円)とする。消しゴムを無視すると、ノート1冊に対し、 $150$ 円である。

また、単品消しゴム:セットB=1:2であるから、単品の消しゴムを1個とセットBを2つを組み合わせて、セットY(ノート6冊・消しゴム3つ・800円)とする。消しゴムを無視すると、ノート1冊に対し、 $\dfrac{400}{3}$ 円である。

セットYだけでノート42冊を売ったとすると、セットYの販売数は $800 \times (42 \div 6)=5600$ 円となる。

$150-\dfrac{400}{3}=\dfrac{50}{3}$ 円であるから、セットXによるノートの販売数は $(5800-5600)\div \dfrac{50}{3}=12$ 冊。

セットXは3個、セットYは5個売れた。

よって、単品ノートは3冊、単品消しゴムは5個売れた。

2019年第7問

(2)①解法1

正四面体を辺OBがつながるように展開する。四角形OABCは平行四辺形である。また、Eは、ADとOCの交点である。

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三角形ODEと三角形BAEは相似である。 $\rm{OE}:\rm{BE}=\rm{OD}:\rm{AB}=1:2$ である。よって、 $\rm{OE}:\rm{OB}=1:3$ である。

また、 $\rm{DM}:\rm{OB}=1:2$ である。

よって、 $\rm{OE}:\rm{DM}=2:3$ である。

三角形OERと三角形MDRは相似であるから、 $\rm{OR}:\rm{RM}=\rm{OE}:\rm{DM}=2:3$ である。

(2)①解法2

正四面体を辺OBがつながるように展開する。四角形OABCは平行四辺形である。また、Eは、ADとOCの交点である。

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直線ADと直線BCの交点をTとすると、 $\rm{OA}:\rm{CT}=\rm{OD}:\rm{CD}=1:1$ である。 $\rm{CM}:\rm{TM}=1:2$ であるから、 $\rm{OA}:\rm{TM}=2:3$ である。

三角形OARと三角形MTRは相似であるから、 $\rm{OR}:\rm{RM}=\rm{OA}:\rm{TM}=2:3$ である。

(3)②解法1

平面OAM上で、Oを通り平面AMに平行な直線と、ARとの交点をUとする。

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$\rm{AM}:\rm{OU}=\rm{MR}:\rm{OR}=3:2$ であるから、 $\rm{OU}:\rm{AP}=2:3\times \dfrac{4}{9}=3:2$ である。

よって、 $\rm{OQ}:\rm{QP}=3:2$ 。

(3)②解法2

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2016年第7問

(2)①

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正方形ABCDにおいて、 $\mathrm{AC}\times\mathrm{AC}=32$ である。よって、 $\mathrm{AI}\times\mathrm{IC}=8$ である。

$\triangle$ EAIと $\triangle$ ICJは、相似である。 $\mathrm{EA}:\mathrm{AI}=\mathrm{IC}:\mathrm{CJ}$ から、 $5 \times \mathrm{CJ}=\mathrm{AI}\times\mathrm{IC}=8$ となる。